PUNTOS EXTREMOS

Teorema._  Si f(x,y) tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en (a,b) y las derivadas parciales de primer orden existe allí entonces :

fx(a,b) = 0  y  fy(a,b) = 0

PLANOS TANGENTES Y APROXIMACIONES

TEOREMA DE APROXIMACIÓN LINEAL 

DERIVADA DIRECCIONAL

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

La definición es muy similar al límite de la definición de la derivada para una función de dos variables. Es importante considerar entonces que para una función de varias variables, no existe una sola derivada, pues la función cambia respecto a más de una.

Afortunadamente existe un procedimiento más simple para derivar parcialmente que utilizar el límite. Éste método consiste en considerar la variable respecto a la que no se deriva como constante. Es decir, si se deriva respecto a x, la variable y será constante y viceversa. Por ejemplo la siguiente función:



Las dos derivadas parciales son:



En el primer caso se toma a y como constante y en el segundo se toma a x como constante. Existen derivadas parciales más complicadas que otras, sin embargo se aplican siempre las mismas reglas de derivación que con funciones de dos variables. 

REGLA DE LA CADENA

DERIVADAS PARCIALES

x,y   variables independientes

z      variable dependiente

- Las reglas y propiedades de derivación de funciones de 1 sola variable se aplican para la derivación de 2 o más variables.

Las derivadas parciales se pueden interpretar de dos formas:

Interpretación Física.

Las derivadas parciales físicamente representan una razón de cambio.

Interpretación geométrica:

 Plano tangente a f(x,y) en P(xo,yo,zo)

Donde la ecuación del plano tangente a la superficie z = f(x,y) en Po