CLASES EXTRA

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DE LINEA

TEOREMA DE GREEN

La orientación positiva sobre una curva en un plano es en el sentido anti horario por convención.


otras formas de notación:

ÁREAS :

El teorema de green proporciona las siguientes formulas para determinar el area:

CONSERVACION DE LA ENERGÍA

En un campo de fuerzas continuo F se hace que se desplace un objeto a lo largo de una trayectoria C definida por ,r(a)=  A , donde es el punto inicial y es el punto final de C. De acuerdo con la segunda ley de Newton del movimiento, la fuerza Frt en un punto sobre C se relaciona con la aceleración mediante la ecuación:

F(r(t))=  mr"(t)

Si un objeto se mueve desde un punto A hacia otro punto B bajo la influencia de un campo de fuerzas conservativo, entonces la suma de su energía potencial y de su energía cinética es constante. Este enunciado recibe el nombre de ley de la conservación de la energía, y es la razón de que el campo vectorial se llame conservativo.

PRUEBA 4

INTEGRAL DE LINEA

Teorema fundamental de integrales de linea

P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz

Diferencial exacta

Si es exacta sus derivadas parciales son continuas y por lo tanto es conservativa. Existe una funciónf(x,y,z)=P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz  tal que:

INTEGRAL DE LINEA DE PRIMERA ESPECIE 

INTEGRAL DE LINEA DE SEGUNDA ESPECIE 

ROTOCIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL CONSERVATIVO

Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como la circulación del vector sobre un camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero (Ecuación 1).

(1)

Aquí, S es el área de la superficie apoyada en la curva C , que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a S y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.

El rotacional de un campo se puede calcular siempre y cuando este sea continuo y diferenciable en todos sus puntos.

El resultado del rotacional es otro campo vectorial que viene dado por el determinante de la siguiente ecuación:

Las propiedades más destacadas del rotacional de un campo son:

•  Si el campo escalar f(x,y,z) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden entonces el rot (f) =0

•  Si F(x,y,z) es un campo vectorial conservativo entonces rot (F) = 0

•  Si el campo vectorial F(x,y,z) es una función definida sobre todo  cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas y el rot (F) = 0, entonces F es un campo vectorial conservativo.

LAPLACIANO DE UN CAMPO ESCALAR 

La divergencia del gradiente de una función escalar se llama Laplaciano. En coordenadas rectangulares:

El Laplaciano encuentra aplicación en la Ecuación de Schrodinger en mecánica cuántica. En electrostática, es una parte de la ecuación de LaPlace y la ecuación de Poisson para las relaciones entre el potencial eléctrico y la densidad de carga.

FUNCIÓN ARMÓNICA

 

INTEGRACIÓN DE LINEA 

Teorema fundamental de integrales de linea 

P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz

Diferencial exacta

 

Si es exacta sus derivadas parciales son continuas y por lo tanto es conservativa. Existe una función

f(x,y,z)=P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz  tal que: