PUNTOS EXTREMOS

Teorema._  Si f(x,y) tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en (a,b) y las derivadas parciales de primer orden existe allí entonces :

fx(a,b) = 0  y  fy(a,b) = 0

PLANOS TANGENTES Y APROXIMACIONES

TEOREMA DE APROXIMACIÓN LINEAL 

DERIVADA DIRECCIONAL

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

La definición es muy similar al límite de la definición de la derivada para una función de dos variables. Es importante considerar entonces que para una función de varias variables, no existe una sola derivada, pues la función cambia respecto a más de una.

Afortunadamente existe un procedimiento más simple para derivar parcialmente que utilizar el límite. Éste método consiste en considerar la variable respecto a la que no se deriva como constante. Es decir, si se deriva respecto a x, la variable y será constante y viceversa. Por ejemplo la siguiente función:



Las dos derivadas parciales son:



En el primer caso se toma a y como constante y en el segundo se toma a x como constante. Existen derivadas parciales más complicadas que otras, sin embargo se aplican siempre las mismas reglas de derivación que con funciones de dos variables. 

REGLA DE LA CADENA

DERIVADAS PARCIALES

x,y   variables independientes

z      variable dependiente

- Las reglas y propiedades de derivación de funciones de 1 sola variable se aplican para la derivación de 2 o más variables.

Las derivadas parciales se pueden interpretar de dos formas:

Interpretación Física.

Las derivadas parciales físicamente representan una razón de cambio.

Interpretación geométrica:

 Plano tangente a f(x,y) en P(xo,yo,zo)

Donde la ecuación del plano tangente a la superficie z = f(x,y) en Po

LIMITES Y CONTINUIDAD

Por definición de limites se obtiene que:

Para demostrar que una función es continua se debe tener en cuenta los siguientes pasos:

Una función f(x,y) = z se dice que es discontinua si:

Para los casos 1) y 2) se dice que es discontinua evitable y para el caso 3) es discontinua inevitable.

- Si la función es discontinua evitable se debe redefinir, para transformarla en continua en (x,y)

FUNCIONES REALES DE ARGUMENTO VECTORIAL

- Si f(x,y)=z la gráfica en el espacio se obtiene una superficie.
- El dominio de la función f(x,y) es un conjunto de escalares Z elemento del espacio.
-  El rango de la función f(x,y) es un conjunto de escalares Z elemento del espacio.
- La gráfica de f(x,y,z)=w no se puede representar en el espacio, pero seria una hipersuperficie. Solo se puede representar en el espacio el dominio de la función.

Análisis del dominio de función o campo de existencia.

1) Análisis matemático: Va la forma matemática de determinar un dominio.

2) Análisis gráfico: Se representa gráficamente el dominio calculado anteriormente.


3) Análisis descriptivo: Se debe escribir lo calculado anteriormente en palabras.

Curva de Nivel

Las curvas de nivel de una función f(x,y) son las curvas cuyas ecuaciones son f(x,y) = k, donde k es una constante (en el rango de los reales)



Las curvas de nivel se representan en el plano y después en el espacio.

Estas curvas nos dan la idea de como queda la gráfica en el espacio.

PLANOS

Plano Osculador

La intersección de las rectas tangente con el normal.

Plano Normal

 La intersección de las rectas binormal y normal.

Plano Rectificante 

La intersección de las rectas tangente y binormal.

Recta Tangente 

Recta Normal Principal 

Recta Binormal 

Vector Curvatura 

Variacion del vector tangente unitario respecto a la longitud de arco 

Radio de curvatura de flexión 

Viernes 18 de Noviembre

Velocidad y Aceleración
Si F(t)  de I en Rn representa la funsion de posición de un móvil en el instante ''t'', entonces:
1) F(t)= V(t) : Velocidad del móvil
I F'(t) I = I V (t) I : Rapidez del móvil 

2) V(t) = I V(t) I

3) F''(t)= A(t): Aceleración del móvil

Entonces:
Si F(t)= {f1(t), f2(t),f3(t)}
V(t)= {f1'(t), f2'(t),f3'(t)}
A(t)={f1''(t), f2''(t),f3''(t)}

Vectores tangente unitario y normal principal 

El vector tangente unitario se denota por T(t) es el vector, derivada dividido por su modulo.

El modulo de T(t) es igual a 1, entonces T(t) y T'(t) son ortogonales entre si, por tanto, se define el vector normal principal 

Martes 15 de Noviembre

Operaciones con Funciones Vectoriales
Las operaciones usuales del álgebra vectorial pueden aplicarse para combinar 2 funciones o una función vectorial con una función real. Si f y g son funciones vectoriales y si u es una función real, teniendo todas un dominio común, definimos nuevas funciones F + G, uF y F · G mediante
a) (F + G)(t) = F(t) + G(t)
b) uF(t) = u(t)F(t)
c) (F · G)(t) = F(t) · G(t)
d) (F × G)(t) = F(t) × G(t) si F, G ∈ R 3
e) Si G = F ◦ u entonces G(t) = F(u(t))

Limites 

 Sea F: J --> Rn ; ICR y sea to E I. Se dice que F(t) tiene por el limite al vector A E Rn cuando t ---> to si: Para todo e> 0 existe un delta > 0 talque 

0< l t-to l < delta --> l F(t) - A l < E

Lim    F(t)= A
t-->to

Continuidad 

Sea F: I --> Rn y sea to E I se dice que F(t) es continua en t=to si 

Derivada

Dada F: I--> Rn, ICR y sea to EI se dice que F(t) es derivable en to si existe 

Integral

Sea  F: I--> Rn

La integral definida de F en el intervalo {a,b} esta dada por 

Viernes 11 de Noviembre

Funciones vectoriales 

Se llama función vectorial de la variable real t, a toda función f(t) de I en R3, donde t E I C R

Como hemos visto las superficies están dadas por ecuaciones que en el plano representaban curvas pero si ahora son superficies, entonces tiene una representación gráfica de una curva alabeada.

Caso particular (Representa un curva plana)

Martes 1 de Noviembre

Superficies de segundo orden (cuadráticas)

• Se llaman así a las superficies en el espacio que vienen dadas por ecuaciones de segundo grado
• Para realizar el análisis de estas superficies se debe seguir el siguiente procedimiento 

1. Intersección de los ejes coordenados 
2. Intersección de los planos coordenados 
3. Intersección con planos paralelos a los planos coordenados 
4. Bosquejo de la gráfica de la superficie 

Algunas de las superficies cuadráticas son: 

• Se debe buscar las intersecciones con los ejes coordenados
• La intersección con los planos coordenados

• La intersección con los planos paralelos a los planos coordenados

Y la figura quedaría:

Viernes 28 de Octubre

Ecuación de la recta determinada por dos planos 

Se puede hallar la recta de los planos que se hayan intersecado cuando se tiene las ecuaciones de dichos planos.

Haz de planos 

Conjunto infinito de planos que pasan por una recta común.

Distancia de un punto a la recta 

Ecuación vectorial de la esfera  

Conociendo el centro de la esfera más un punto de la misma se puede obtener la ecuación de la esfera.

Martes 25 de Octubre

* EL PLANO 

Ecuación vectorial del plano 

Ecuación general del plano

Ecuaciones incompletas del plano

1) Si C=0 

    Ax + By + D = 0

    F(x,y) = 0

    Plano con generatriz paralela al eje OZ

2) Si C=0 y D=0

    Ax + By = 0

    Plano con generatriz paralela al eje OZ y que contiene al eje OZ

3) Si B=0 , C=0

    Ax + D = 0

Ecuación del plano dado 3 puntos 

Con la ayuda de 3 puntos se puede obtener la ecuación del plano:

• Si el producto mixto es 0 son coplanares.
• Geométricamente el producto mixto representa el volumen del paralelepípedo que tiene como arista los 3 vectores involucrados.

La recta en R3

La ecuación vectorial de la recta es:       R=Ro + ta 

Donde:

R es el vector de la recta.

Ro es el vector posición de un punto en la recta

t es una constante 

a es el vector dirección

Las ecuaciones paramétricas son:           X=Xo + tl

                                                                 Y=Yo + tm

                                                                   Z=Zo + tn

La ecuación cartesiana es:                       X-Xo = Y-Yo = Z-Zo

                                                                     l           m          n

La ecuación vectorial de la recta:            R = R1 + (R2 - R1)

Observaciones:

• La recta es un caso particular de una curva alabeada 
• Se puede proyectar una recta sobre cualquier plano