CAMPOS VECTORIALES

Sea D un conjunto de R2, una región plana. Un campo vectorial sobre R2, es una función F que asigna a cada punto (x, y) en D un vector bidimensional 

F(x, y) = (P(x, y); Q(x, y)) 

donde:

P(x, y) y Q(x, y) son funciones escalares de 2 variables y a veces se les llama campos vectoriales.

Sea D un conjunto de R3, una región plana. Un campo vectorial sobre R3, es una función F que asigna a cada punto (x, y, z) en D un vector bidimensional 

F(x, y, z) = (P(x, y, z); Q(x, y, z); R(x, y, z)) 

donde:

P(x, y, z) y Q(x, y, z) son funciones escalares de 2 variables y a veces se les llama campos vectoriales.

Observación: 

• Para definir la continuidad de un campo vectorial se debe analizar la continuidad de cada una de sus componentes.
• Un campo vectorial F es conservativo, si es el gradiente de alguna función es decir, si existe una función f, tal que F sea igual al gradiente de f. En esta situación f recibe el nombre de función potencial de F.

Campo Gravitacional: 

   En física, se suele utilizar r en lugar de x para el vector posición:

Campo Gradiente: 

Si f es una función escalar de dos variables, su gradiente se define como:

• Por lo tanto, el gradiente de f(x, y) es realmente un campo vectorial gradiente.

Divergencia (divF):

 Sea F(x, y, z) = ((P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), la divergencia de F, denotado por:                                  divF, es el campo escalar definido por el producto escalar entre el gradiente y la función F,

La divergencia se puede denotar de la siguiente manera

Rotacional (rotF):

   El rotacional de un campo vectorial F(x, y, z) = ((P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), denotado por RotF es el campo vectorial definido por:

MOMENTOS DE INERCIA

1._ Masas puntuales

Los momentos de inercia de las “n” masas respecto a los ejes coordenados:

2._ Masa continúa

Sea L una lámina los momentos de inercia con respecto a los ejes coordenados son:

DISTRIBUCIÓN DE MASA LINEAL

A) LINEAL 

B) SUPERFICIAL 

C) VOLUMETRICA 

CENTRO DE MASA

El centro de masa es el punto donde se considera que esta concentrada la masa de un cuerpo



Caso  discreto 

Para un sistema discreto la posición del centro de masas (CM) viene dada por la expresión

donde m_i es la masa de cada partícula y  su vector de posición. Cuando tratamos con un sistema continua, la expresión se transforma según el cambio

Caso continuo 

en un sistema continuo la posición del centro de masas viene dada por la expresión

siendo  un vector que recorre cada uno de los puntos del sistema y dm la masa infinitesimal asociada a cada uno de esos puntos.

TRANSFORMACIÓN DE INTEGRALES MULTIPLES

Dada una integral doble de una función F(x, y) definida en un dominio Dxy, es posible realizar un cambio de variables para otro dominio Duv de la siguiente manera:

Sustituimos x por una función H(u, v), e y por otra función G(u, v). 

                                       

J se denomina Jacobiano, y resulta de resolver un determinante formado por las derivadas parciales de las funciones H y G.

Donde:

|J|: Determinante Jacobiano de la transformación de las variables (x,y) a (u,v)

                                    

 Coordenadas Polares:

 Coordenadas Cilíndricas:

Coordenadas Esféricas 

INTEGRALES MULTIPLES

Al igual que las integrales de una variable sirven para calcular el área bajo una gráfica, las integrales dobles sirven para calcular volúmenes.

Concretamente, cuando F ≥ 0, la integral ∫ d c ∫ b a F(x, y) dxdy es el volumen bajo la gráfica en el rectángulo [a, b] × [c, d], esto es, a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d. Lo mismo se cumple en regiones más generales. Es decir, si R es una región del plano y F = F(x, y) es una función no negativa en ella, entonces (1) ∫∫ R F = Volumen bajo la gráfica de F sobre la región R.

TIPOS DE REGIONES DE INTERSECCIÓN 

Regiones rectangulares  

Regiones mas generales                   

1._ Verticalmente simple 

2._ Horizontalmente simple                                                                                                                                                                                

 

MAXIMOS Y MINIMOS CONDICIONADOS

MULTIPLICADOR DE LAGRANGE 

Se llama punto extremo condicionado de una función f(x,y) al punto critico que satisface tal definición, pero que adicionalmente debe cumplir con la condición de que sus variables independientes estén relacionadas entre sí, mediante una ecuación de enlace g(x,y)=0.
Para hallar un extremo condicionado de f(x,y) con la ecuación de enlace g(x,y)=0, se forma la llamada función de Langrange:

F(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)
Dónde:
l: multiplicador de Lagrange, parámetro constante

Si se tiene un función de 3 variables:

u = f(x,y,z)
g1(x,y,z) = 0 ^ g2(x,y,z) = 0

entonces
F(x,y,z,λ1,λ2)= f(x,y,z) + λ1 g1(x,y,z) + λ2 g2(x,y,z)

Método de multplicador de Lagrange

Para determinar los valores externos de f(x,y,z) sujeta a la restricción g(x,y,z)=0 suponiendo que estos valores existen y que ∇g≠0 se encuentra en la superficie g(x,y,z)=0

a) Determine todos los valores de x,y,z y λ tales que:

∇ f(x,y,z)= λ∇ g(x,y,z)

b) Evalúe f en todos los puntos (x,y,z) encontrados, el mayot de todos es el máximo de f y el menor el mínimo de f.

VALORES MAXIMOS Y MINIMOS ABSOLUTOS

Para determinar los valores máximos y mininos absolutos absolutos.

1. Se calculan los valores de f en los puntos críticos de f en 0

2. Se determinan los valores extremos de f en la frontera de D

3. El mas grande de los valores de los puntos 1 y 2 es el máximo absoluto, el menor de los valores es el mínimo absoluto